Question

3．已知S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且满足a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，得S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²①，当n≥2，S_n-1=$\frac{1}{4}$（a_n-1+1）²②，两式相减，得出数列的递推公式，再根据递推公式去推证数列的性质，求解通项，
（2）根据{b_n}的通项公式可知利用由错位相减法能够求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：由a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，
得S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²①，
当n≥2，S_n-1=$\frac{1}{4}$（a_n-1+1）²②，
①-②得a_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²-$\frac{1}{4}$（a_n-1+1）²，
化简整理得出
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
由已知，S_n＞0，所以a_n＞0，a_n+a_n-1≠0，
a_n-a_n-1-2=0，由等差数列的定义可知数列{a_n}是以2为公差的等差数列，
在a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1中，令n=1，解得a₁=1，
所以数列{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$•a_n=（2n-1）•4ⁿ，
∴T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-1）×4ⁿ，③
4T_n=1×4²+3×4³+5×4⁴+…+（2n-3）×4ⁿ+（2n-1）×4ⁿ⁺¹，④
④-③得得3T_n=-4-2（4²+4³+…+4ⁿ）+（2n-1）×4ⁿ⁺¹=-4+2×$\frac{{4}^{2}（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$+（2n-1）×4ⁿ⁺¹=（2n-$\frac{5}{3}$）×4ⁿ⁺¹+$\frac{20}{3}$
所以T_n=$\frac{1}{9}$[（6n-5））×4ⁿ⁺¹+20]．

点评 本题主要考查了数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法，综合性强，难度大，易出错，属于中档题