Question

已知函数：f（x）=3x²-2mx-1，g（x）=|x|-

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4

．
（1）若存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，求m的取值范围；
（2）若对任意的x∈（-1，2），f（x）≥g（x），求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数f（x）=3x²-2mx-1恒过定点（0，-1）且开口向上，要使得存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，只要f（-1）和f（2）中有一个大于0即可，列出不等式，解出即可得m的取值范围；
（2）根据|x|的定义，讨论去掉绝对值，结合题中x∈（-1，2）分为-1＜x＜0，x=0，0＜x＜2三种情况讨论，利用参变量分离后，将恒成立问题转化成求函数的最值，从而求得m的取值范围．

解答：解：（1）若存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，
根据二次函数f（x）=3x²-2mx-1恒过定点（0，-1）且开口向上，
∴f（-1）＞0或f（2）＞0，即2m+2＞0或-4m+11＞0，解得m∈R．  
∴m的取值范围为R．
（2）由题意，对任意的x∈（-1，2），f（x）≥g（x）恒成立，
∴3x²-2mx-1≥|x|-

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4

对任意的x∈（-1，2）恒成立，
①当-1＜x＜0时，3x²-（2m-1）x+

3

4

≥0，即3|x|²+（2m-1）|x|+

3

4

≥0对任意的x∈（-1，0）恒成立，
∴1-2m≤3|x|+

3

4|x|

对任意的x∈（-1，0）恒成立，即1-2m≤（3|x|+

3

4|x|

）_min，
∵3|x|+

3

4|x|

≥2

3|x|• 3 4|x|

=3，当且仅当x=-

1

2

时取等号，
∴（3|x|+

3

4|x|

）_min=3，
∴1-2m≤3，解得，m≥-1．
②当x=0时，-1≥-

7

4

恒成立，
∴m∈R．
③当0＜x＜2时，3x²-（2m+1）x+

3

4

≥0对任意的x∈（0，2）恒成立，
∴2m+1≤3x+

3

4x

对任意的x∈（0，2）恒成立，即2m+1≤（3x+

3

4x

）_min，
∵3x+

3

4x

≥2

3x• 3 4x

=3，当且仅当x=

1

2

时取等号，
∴（3x+

3

4x

）_min=3，
∴2m+1≤3，解得，m≤1．
综合①②③，实数m的取值范围是[-1，1]．

点评：本题考查了二次函数的性质，以及函数的恒成立问题．对于恒成立问题，一般选用参变量分离，转化成求函数的最值．本题同时考查了基本不等式的应用，在应用时要注意基本不等式成立的条件．属于中档题．