精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
关于函数f(x)=x+
1
x
的性质,有如下说法:
①函数f(x)的最小值为3;
②函数f(x)为偶函数;
③函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞).
其中所有正确说法的个数为(  )
分析:利用双钩函数f(x)=x+
1
x
的奇偶性、单调性与最值对①②③三个选项逐一判断即可.
解答:解:∵f(x)=x+
1
x

∴f(1)=2,故①错误;
又f(-x)=-x-
1
x
=-(x+
1
x
)=-f(x),
∴f(x)=x+
1
x
为奇函数,故②错误;
∵f′(x)=1-
1
x2
=
x2-1
x2
=
(x+1)(x-1)
x2

令f′(x)>0,得x<-1或x>1,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),即③正确.
综上所述,所有正确说法的个数为1个.
故选:C.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查双钩函数f(x)=x+
1
x
的奇偶性、单调性与最值,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x)恒成立;当x∈[0,1]时,f(x)=x3-4x+3.有下列命题:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②当x∈[-1,0]时f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列;
④关于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7个不同的根.
其中真命题的个数为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

下列关于函数f(x),x∈[ab]的命题中,正确的是(  )

A.若x0∈[ab]且满足f(x0)=0,则x0f(x)的一个零点

B.若x0f(x)在[ab]上的零点,则可以用二分法求x0的近似值

C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点

D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:徐州模拟 题型:解答题

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案