Question

已知三棱锥P-ABC的三视图如如图所示，
（Ⅰ）求证：△PBC是直角三角形；
（Π）求三棱锥P-ABC是全面积；
（Ⅲ）当点E在线段PC上何处时，AE与平面PAB所成的角为60⁰

Answer 1

分析：（1）根据视图中所给的数据特证可以证明BC⊥面PAB，由线面垂直的性质证出BC⊥PB，由此证得三角形为直角三角形
（2）由于三棱锥的四个面都是直角三角形，故把各个棱的长度求出，由三角形面积公式求出各面的面积相加既得；
（3）本题中出现了同一点出发的三个棱两两垂直的特征，故可以建立空间直角坐标系，设出E点的坐标，用参数表示出直线AE的方向向量，求出面PAB的法向量，由线面角公式建立起点E的坐标所满足的方程，求出参数即可．

解答：解：解法一：
（Ⅰ）由俯视图可得：
面PAC⊥ABC，面PAB⊥面ABC
又面PAC∩面PAB=PA                                
故PA⊥面ABC
∵BC?面ABC，∴BC⊥PA
有俯视图知BC⊥AB，∴BC⊥面PAB∵BP?面PAB，∴BC⊥PB
故△PBC是以B为直角顶点的直角三角形．

（Ⅱ）三角形PAC的面积为

1

2

×

2

×

2

=1，PC=2
∵俯视如图是底边长为

2

，斜边上的高为

2

2

的等腰直角三角形
∴三角形PAB的面积为

2

2

，且PB=

3

由（Ⅰ）知三角形PBC是直角三角形，
故其面积为

1

2

×BC×PB=

3

2

故三棱锥P-ABC的全面积为

3+ 2 + 3

2

（Ⅲ）在面ABC内过A做AC的垂线AQ，
以A为原点，AC、AQ、AP所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如如图所示则P(0，0，

2

)，C(

2

，0，0)B(

2

2

，

2

2

，0)
设

n

=(x，y，z)为面PAB的一个法向量
则

n • AP = 2 z=0 n • AB = 2 2 x+ 2 2 y=0

取x=1．得

n

=(1，-1，0)设

CE

=λ

CP

，E(x，y，z)
∵

CP

=(-

2

，0，

2

)，

CE

=(x-

2

，y，z)
∴E((1-λ)

2

，0，

2

λ)sin300=

| n • AE |

| n |•| AE |

=

|1-λ| 2

2 2(1-λ)2+2λ2

=

1

2

解得λ=

1

2

∴E=(

2

2

，0，

2

2

)
故当E为PC的中点时，AE与面PAB所成的为60°

解法二：
（Ⅰ）由正视图和俯视图可判断PA⊥AC，且PA⊥AB∴PA⊥面ABC
在面ABC内过A做AC的垂线AQ
以A为原点，AC、AQ、AP所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如如图所示
则PP(0，0，

2

)，C(

2

，0，0)B(

2

2

，

2

2

，0)

PB

=(

2

2

，

2

2

，-

2

)，

CB

=(-

2

2

，

2

2

，0)

PB

•

CB

=0
∴BC⊥PB
故△PBC是以B为直角顶点的直角三角形．
（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）设

n

=(x，y，z)为面PAB的一个法向量
则

n • AP = 2 z=0 n • AB = 2 2 x+ 2 2 y=0

取x=1．得

n

=(1，-1，0)

CE

=λ

CP

，E(x，y，z)
∵

CP

=(-

2

，0，

2

)，

CE

=(x-

2

，y，z)
∴E((1-λ)

2

，0，

2

λ)sin300=

| n • AE |

| n |•| AE |

=

|1-λ| 2

2 2(1-λ)2+2λ2

=

1

2

解得λ=

1

2

∴E=(

2

2

，0，

2

2

)
故当E为PC的中点时，AE与面PAB所成的为60°．

点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为

1

3

×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．用向量法求线面角是空间向量的一个重要运用，其步骤是：
一、建立坐标系，表示出相应量的坐标，
二、求出直线的方向向量以及面的法向量，
三、利用公式表示线面角或者面面角的三角函数值求角．
用向量解决几何问题是新课标的新增内容，这几年高考中此工具是一个常考常新的类型．