Question

已知O为坐标原点，A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）
（1）|

OA

+

OC

|=

13

，且α∈（0，π），求α．
（2）在（1）条件下，求

OB

与

OC

的夹角；
（3）若

AC

•

BC

=-1，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中，A（3，0），C（cosα，sinα），我们可以求出向量

OA

+

OC

的坐标，进而根据|

OA

+

OC

|=

13

，我们可以代入向量坐标公式，易构造关于α的三角方程，根据α∈（0，π），解三角方程即可求出α的值；
（2）由已知中B（0，3），结合（1）中的结论，代入向量夹角公式，cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB |•|  OC |

，即可求出

OB

与

OC

的夹角的余弦，进而得到

OB

与

OC

的夹角；
（3）根据A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），由

AC

•

BC

=-1，我们易构造关于α的三角方程，化简后，即可得到sin2α的值．

解答：解：（1））|

OA

+

OC

|=（3+cosα，sinα）
∴|

OA

+

OC

|2=9+6cosα+cos²α+sin²α=10+6cosα=13cosα=

1

2

∵α∈（0，π），∴α=

π

3

．（3分）
（2）∵cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB |•|  OC |

=

3sinα

3

=sinα=

3

2

．（6分）
（3）∵

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3）．（8分）
∴

AC

•

BC

=cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=1-3（sinα+cosα）=-1
∴sinα+cosα=

2

3

（10分）
∴1+2sinαcosα=

4

9

．
∴sin2α=-

5

9

…（12分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的模，平面向量的夹角公式，平面向量的数量积，同角三角函数的基本关系，二倍角公式等，是三角函数与向量的综合应用，其中（1）的关键是确定向量

OA

+

OC

的坐标，（2）的关键是熟练掌握向量夹角公式，cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB |•|  OC |

，（3）的关键是由已知条件构造关于α的三角函数方程．