Question

17．已知函数f（x）=x²-ax+1，a∈R．
（1）如果方程f（x）=0的两根满足x₁＜-2＜x₂，求a的取值范围；
（2）若方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，用a表示x₁³+x₂³的解析式记为g（a），求g（a）并求g（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（-2）＜0，解关于a的不等式可得；
（2）由△≥0可得a≤-2或a≥2，由韦达定理和多项式的运算可得g（a）=a³-3a，导数法可得关于a的函数的值域．

解答 解：（1）由题意可得抛物线f（x）=x²-ax+1开口向上，
由方程f（x）=0的两根满足x₁＜-2＜x₂可得f（-2）＜0，
∴（-2）²-a（-2）+1＜0，解得a＜-$\frac{5}{2}$；
（2）由△=（-a）²-4≥0可得a≤-2或a≥2，
由韦达定理可得x₁+x₂=a，x₁x₂=1，
∴g（a）=x₁³+x₂³=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）
=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]
=a（a²-3）=a³-3a，
∴g′（a）=3a²-3=3（a²-1）＞0，
∴函数g（a）在a≤-2或a≥2上单调递增，
计算可得g（-2）=-2，g（2）=2，
∴g（a）的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）

点评 本题考查函数解析式的求解，涉及导数法求函数的值域，属中档题．