Question

若奇函数f（x）在[2，4]上为增函数，且有最小值0，则它在[-4，-2]上（　　）

A．是减函数，有最小值0

B．是增函数，有最小值0

C．是减函数，有最大值0

D．是增函数，有最大值0

Answer 1

分析：根据题意得任意的x∈[2，4]，有f（x）≥f（2）恒成立，从而对x∈[-4，-2]都有f（-x）≥f（2）恒成立，由函数为奇函数得对任意的x∈[-4，-2]有f（x）≤f（-2）=0恒成立．由此可得答案．

解答：解：∵奇函数y=f（x）在区间[2，4]上是增函数，∴f（x）在区间[-4，-2]上也是增函数
∵函数y=f（x）在区间[2，4]上是增函数，有最小值0，
∴当2≤x≤4时，[f（x）]_min=f（2）=0，
即任意的x∈[2，4]，f（x）≥f（2）恒成立．
又∵x∈[-4，-2]时，-x∈[2，4]，得f（-x）≥f（2）恒成立，
∴根据函数为奇函数，得-f（x）≥f（2）即f（x）≤f（-2），
∵f（-2）=-f（2）=0，
∴对任意的x∈[-4，-2]，f（x）≤f（-2）=0恒成立，
因此，f（x）在区间[-4，-2]上为增函数且有最大值f（-2）=0．
故选：D

点评：本题给出函数在某个区间上的奇偶性与单调性，求它在关于原点对称区间上的单调性与最值．着重考查了函数的奇偶性和单调性及其相互关系等知识，属于中档题．