Question

已知函数f（x）=2^x-

1

2x

（1）判断函数的奇偶性、增减性并证明．
（2）若f（x）中，x=sinα+cosα，α∈（-

π

2

，0），且f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,三角函数的求值

分析：根据奇偶性的定义不难判断原函数的奇偶性，增减性的判断通过求函数导数，再判断导函数的符号，即可判断函数f（x）的增减性．
第二问中，先根据a的范围来确定x的范围，这要用到两角和的正弦公式．求出x范围之后，对于1-m，1-m²都要在这个范围中．再根据函数f（x）的奇偶性和单调性，把条件f（1-m）+f（1-m²）＜0变成f（1-m）＜f（m²-1），并得到1-m＜m²-1，结合前面求的关于m的不等式，便可求出m的取值范围．

解答： 解：原函数的定义域是R．
（1）f（-x）=2-x-

1

2-x

=-(2x-

1

2x

)=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
∵f（x）=2^x-

1

2x

=（2^x）+（-

1

2x

），
∴函数f（x）在R上是增函数．
（2）∵x=sina+cosa=

2

sin(a+

π

4

)，a∈(-

π

2

，0)
∴x∈（-1，1）
又f（1-m）+f（1-m²）＜0
∴根据（1）的结论f（x）在R上是奇函数，是增函数；
∴f（1-m）＜f（m²-1）
m应该满足：

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解得：1＜m＜

2

．
∴m的取值范围是(1，

2

)．

点评：本题考查的知识点为函数奇偶性的定义，对于第二问，需要先根据a的范围求出x的范围，从而限制1-m，1-m²的取值在这个范围内．还要注意的是对f（1-m）+f（1-m²）＜0的变形处理．