Question

已知{a_n}为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．数列{b_n}的前n项和为S_n，且3S_n=b_n+2，n∈N^*，
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

an   n为奇数 bn  n为偶数

，求数列{c_n}的前2n+1项的和T_2n+1．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据等差数列的定义建立方程组求出首项和公差即可得到结论．
（2）求出数列{c_n}的通项公式，利用分组求和法即可得到结论．

解答： 解：（1）∵{a_n}为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
∴

2a1+2d=8 2a1+4d=12

，解得a₁=2，d=2，即a_n=2+2（n-1）=2n，
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且3S_n=b_n+2，①
∴当n=1时，3S₁=b₁+2，解得b₁=1，
当n≥2时，3S_n-1=b_n-1+2，②
①-②得，b_n=-

1

2

b_n-1，
则数列{b_n}是等比数列，公比q=-

1

2

，
则b_n=（-

1

2

）^n-1．
（2）c_n=

an   n为奇数 bn  n为偶数

=

2n， n为奇数 (- 1 2 )n-1， n为偶数

，
∴数列{c_n}的前2n+1项的和T_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=

2+2(2n+1)

2

•(n+1)+

(- 1 2 )[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=2n²+4n+

4

3

+

2

3

×(

1

4

)n．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的判断和通项公式的计算，以及数列求和，利用分组求和是解决本题的关键．