Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃+S₄=S₅，a₇=5a₂+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（

1

2

）^n-1，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：根据等差数列的通项公式及前n项和公式比较容易求出{a_n}的通项公式，求出通向公式是：a_n=-2n+1．对于第二问，先带入a_n，b_n，求出a_nb_n，并且能得到Tn=-1•1-3•

1

2

-5•(

1

2

)2-…-(2n-1)•(

1

2

)n-1，先观察这前n项和，里面像有个等比数列，而对于这种数列的求和，一般在和的两边同乘以公比，然后再交错相减便可出现一个等比数列的前n项和，那么利用等比数列前n项和公式便可求出．用上这个方法本题便不难解决．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由S₃+S₄=S₅，a₇=5a₂+2得：2a₁-d=0，4a₁-d+2=0解得：a₁=-1，d=-2因此：a_n=-2n+1（n∈N^*）
（2）a_nb_n=（-2n+1）（

1

2

）^n-1
∴Tn=-1•1-3•

1

2

-5•(

1

2

)2-…-(2n-1)•(

1

2

)n-1①

1

2

Tn=-1•

1

2

-3•(

1

2

)2-5•(

1

2

)3-…-(2n-1)(

1

2

)n②
①-②，得

1

2

Tn=-1-2[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1]+(2n-1)(

1

2

)n+(2n-1)(

1

2

)n=-1-2[1-(

1

2

)n-1]+(2n-1)(

1

2

)n=-3+(2n+3)(

1

2

)n
所以Tn=-6+(4n+6)(

1

2

)n．

点评：考查等差数列通项公式及前n项和公式，等比数列前n项和公式．而用到的一个方法就是在和里面如果含有等比数列，一般在和的两边同乘以公比q．然后交错相减即可求求出前n项和．