Question

已知直线l₁：3x-4y-6=0和直线l₂=-

p

2

，若抛物线C：x²=2py（p＞0）上的点到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A、B两点，且AA₁，BB₁都垂直于直线l₂与y轴的交点为Q，求证：

S△QAB2

S△QAA1•S△QBB1

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义，可得抛物线上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值焦点到直线l₁：3x-4y-9=0的距离，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+1，代入抛物线方程，可得x²-4kx-4=0，利用韦达定理，分别求出面积，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：直线l₂=-

p

2

为抛物线C：x²=2py的准线，焦点为（0，

p

2

）
根据抛物线的定义，可得抛物线上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为焦点到直线l₁：3x-4y-9=0的距离．
由点到直线的距离公式可得d=

|-2p-6|

5

=2．
∴p=2，
∴抛物线C：x²=4y；
（Ⅱ）证明：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=kx+1，
代入抛物线方程，可得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-4，
∴y₁+y₂=4k²+2，y₁y₂=1，
∵Q（0，-1）到直线l的距离d=

2

1+k2

∴S_△QAB=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

2

1+k2

=|x₁-x₂|．
∵|AA₁|=y₁+1，|BB₁|=y₂+1，
∴

S△QAB2

S△QAA1•S△QBB1

=

|x1-x2|2

1 2 (y1+1)|x1|• 1 2 (y2+1)|x2|

=

4(16k2+16)

4(4k2+4)

=4，
∴

S△QAB2

S△QAA1•S△QBB1

为定值．

点评：本题考查抛物线的定义，考查点到直线的距离公式，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积是计算，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．