Question

已知等差数列{a_n}的公差d不为零，S_n为其前n项和，S₆=5S₃
（Ⅰ）求证：a₂，a₃，a₅成等比数列；
（Ⅱ）若a₂=2，且a₂，a₃，a₅为等比数列{b_n}的前三项，求数列|

Sn+1

bn

|的最大项的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列的前n项和公式由S₆=5S₃，得a₁=0，由此能证明a₂，a₃，a₅成等比数列．
（Ⅱ）由已知条件得S_n=n（n-1），S_n+1=n（n+1），bn=2n，

Sn+2

2n+1

-

Sn+1

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，由此能求出数列|

Sn+1

bn

|的最大项的值为

S3

22

=

3×2

4

=

3

2

．

解答： （Ⅰ）证明：∵等差数列{a_n}的公差d不为零，S_n为其前n项和，S₆=5S₃，
∴6a₁+15d=15a₁+15d，
解得a₁=0，
∴a₂=d，a₃=2d，a₅=4d，
∵d≠0，∴a₂，a₃，a₅成等比数列，且公比为2．
（Ⅱ）解：∵a₂=2，∴d=2，
a₂，a₃，a₅为等比数列{b_n}的前三项，
∴b₁=2，b₂=4，b₃=8，
∴S_n=n（n-1），S_n+1=n（n+1），bn=2n，

Sn+2

2n+1

-

Sn+1

2n

=

(n+1)(n+2)

2n+2

-

n(n+1)

2n+1

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，
当n=1时，

Sn+2

2n+1

＞

Sn+1

2n

，
当n=2时，

Sn+2

2n+1

=

Sn+1

2n

，
当n≥3时，

Sn+2

2n+1

＜

Sn+1

2n

，
∴

S2

2

＜

S3

22

=

S4

23

＞

S5

24

＞…，
∴数列|

Sn+1

bn

|的最大项的值为

S3

22

=

3×2

4

=

3

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的最大项和值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质．