Question

已知⊙O的半径R=2，P为直径AB延长线上一点，PB=3，割线PDC交⊙O于D，C两点，E为⊙O上一点，且

AC

=

AE

，DE交AB于F，则OF=

 

．

Answer 1

考点：弦切角

专题：立体几何

分析：作直径EG，交圆于G点，连EC交AP于H点，由已知条件得OH是三角形ECG的中位线，得∠P=∠PCG=∠DEG，从而得到△EOF∽△PDF，进而OF•PF=EF•DF=AF•BF，由此能求出OF．

解答： 解：作直径EG，交圆于G点，连EC交AP于H点，
∵

AC

=

AE

，由垂径定理得H是EC中点，
又O是EG中点，∴OH是三角形ECG的中位线，
∴AP∥CG，
∴∠P=∠PCG=∠DEG，
又∠EFO=∠PFD，
∴△EOF∽△PDF
∴OF•PF=EF•DF=AF•BF，
设OF=x，则x（5-x）=（2+x）（2-x），
解得x=

4

5

．
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意垂径定理和三角形相似的性质等知识点的合理运用．