Question

根据以下向量组①②③的坐标计算并猜想向量

a

=（cos10°，sin10°）与

b

=（cos50°，sin50°）夹角为

 

．
①

a

=（cos30°，shi30°），

b

=（cos60°，sin60°）
②

a

=（cos75°，shi75°），

b

=（cos15°，sin15°）
③

a

=（cos45°，shi45°），

b

=（cos90°，sin90°）

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：设向量的夹角为θ，根据cosθ=

a • b

| a || b |

，分别求出①②③的夹角，可以发现其夹角等于两个度数之差（大的度数减去小的度数）．

解答： 解：设向量的夹角为θ，根据cosθ=

a • b

| a || b |

，而|

a

|=1，|

b

|=1
①

a

=（cos30°，sin30°），

b

=（cos60°，sin60°），
∴

a

•

b

=cos30°cos60°+sin30°sin60°=cos30°sin30°+sin30°cos30°=sin（30°+30°）=sin60°=

3

2

，∴cosθ=

3

2

，∴θ=30°=60°-30°，
②

a

=（cos75°，sin75°），

b

=（cos15°，sin15°）
∴

a

•

b

=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos75°sin75°+sin75°cos75°=sin（75°+75°）=sin150°=

1

2

，∴cosθ=

1

2

，∴θ=60°=75°-15°，
同理③

a

=（cos45°，shi45°），

b

=（cos90°，sin90°），θ=45°=90°-45°=45°．
由以上可得，

a

=（cos10°，sin10°）与

b

=（cos50°，sin50°）夹角为50°-10°=40°．
故答案为：40°．

点评：本题主要考查向量的夹角公式，三角函数的和差公式，以及归纳推理的问题，关键是找到规律，属于基础题．