Question

设x、y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则

1

a

+

2

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求

1

a

+

2

b

的最小值．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-

a

b

x+

z

b

的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=4 y=6

，即A（4，6）．
此时z=4a+6b=12，
即

a

3

+

b

2

=1，
则

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（

a

3

+

b

2

）
=

1

3

+1+

b

2a

+

2a

3b

≥

4

3

+2

b 2a • 2a 3b

=

4+2 3

3

，
当且仅当

b

2a

=

2a

3b

时取=号，
故答案为：

4+2 3

3

．

点评：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．