Question

设函数f（x）=lg（|x+3|+|x-7|）-a．
（1）当a=1时，解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）如果?x∈R，f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，原不等式可变为|x+3|+|x-7|＞10，由绝对值的意义求得其解集．
（2）根据|x+3|+|x-7|≥10对任意x∈R都成立，可得f（x）=lg（|x+3|+|x-7|）-a＞0的解集为R，∴故1-a＞0 恒成立，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，原不等式可变为|x+3|+|x-7|＞10，
由绝对值的意义可得|x+3|+|x-7|表示数轴上的x对应点到-3、7对应点的距离之和，
而-3和7到-3、7对应点的距离之和正好等于10，
可得其解集为{x|x＜-3，或x＞7}．
（2）∵|x+3|+|x-7|≥|x+3-（x-7）|=10对任意x∈R都成立．
∴f（x）=lg（|x+3|+|x-7|）-a＞0的解集为R，∴1-a＞0 恒成立，
∴a＜1．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于基础题．