Question

已知等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₂是a₁与a₄的等比中项，且a₄-a₁=6；在等比数列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1

(an+2)lgbn2

，求数列{c_n}的前n项和T_n，以及和T_n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式和等比中项性质求出a_n=2n．由此得到在等比数列{b_n}中，b₁=2，b₃=8，q＞0，从而求出bn=2n．
（2）由c_n=

1

(an+2)lgbn2

=

1

4lg2

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法能求出T_n的最小值．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}中，公差d≠0，
a₂是a₁与a₄的等比中项，且a₄-a₁=6，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），解得a₁=d，或d=0，
若d=0，与a₄-a₁=6矛盾，故舍去，
∴a_n=nd，又a₄-a₁=3d=6，
解得d=2，∴a_n=2n．
∵在等比数列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄，
∴b₁=2，b₃=8，q＞0，
∴q=

b3 b1

=2，∴bn=2n．
（2）c_n=

1

(an+2)lgbn2

=

1

4lg2

•

1

n(n+1)

=

1

4lg2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4lg2

（1-

1

2

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4lg2

（1-

1

n+1

），
∵T_n=

1

4lg2

（1-

1

n+1

）是增数列，
∴T_n的最小值是T₁=

1

8lg2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．