Question

在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的n∈N^*，都有a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n+1-4a_n的值（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由an+1=2an+2n两边同时除以2ⁿ⁺¹，由此能证明数列{

an

2n

}是等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=n•2n-1，由此利用错位相减法能求出S_n，进而能求出S_n+1-4a_n的值．

解答： （Ⅰ）证明：∵an+1=2an+2n，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

．
所以数列{

an

2n

}是以

a1

2

=

1

2

为首项，以

1

2

为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

an

2n

=

1

2

+(n-1)

1

2

=

n

2

，
所以an=n•2n-1，
又Sn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1．①
2Sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n．②
由②-①可得Sn=n•2n-(1+2+22+…+2n-1)=(n-1)•2n+1．
故Sn+1-4an=n•2n+1+1-4n•2n-1=1．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．