Question

已知函数f（x）=x³-ax，g（x）=

1

2

x²-lnx-

5

2

．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求实数a的值；
（Ⅱ）若对一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记G（x）=

1

2

x²-

5

2

-g（x），求证：G（x）＞

1

ex

-

2

ex

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）若f（x）在x=1处的切线与x轴平行，f（x）  在x=1处的切线斜率为0，即可求实数a的值；
（Ⅱ）原不等式可化为a≤（2lnx+

3

x

+x）_min．
（Ⅲ）原不等式可化为lnx＞

1

ex

-

2

ex

，即证xlnx＞

x

ex

-

2

e

成立，确定左边的最小值，右边的最大值，即可证明．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-a，
∵f（x）在x=1处的切线与x轴平行，
∴f（x）  在x=1处的切线斜率为0
即f′（1）=3-a，∴a=3；
（Ⅱ）原不等式可化为：x³-ax≥2x（

1

2

x2-lnx-

5

2

）-x²+5x-3，
∵x＞0，∴化简得：a≤（2lnx+

3

x

+x）_min．
记t（x）=2lnx+

3

x

+x（x＞0），则t′（x）=

x2+2x-3

x2

令t′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
∴在（0，1）上，t′（x）＜0，在（1，+∞）上，t′（x）＞0
∴t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
故当x=1时，t（x）有最小值为4，故a∈（-∞，4]；
（Ⅲ）化简得G（x）=lnx，原不等式可化为lnx＞

1

ex

-

2

ex

，即证xlnx＞

x

ex

-

2

e

成立，
记F（x）=xlnx，可求其最小值为F（

1

e

）=-

1

e

，
记H（x）=

x

ex

-

2

e

，可求其最大值为H（1）=-

1

e

，
显然x∈（0，+∞），F（x）＞H（x），故原不等式成立．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，正确求导是关键．