Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求三棱锥A-BCF的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取CE的中点G，连结FG、BG．由已知条件推导出四边形GFAB为平行四边形，由此能证明AF∥平面BCE．
（2）由等边三角形性质得AF⊥CD，由线面垂直得DE⊥AF，从而AF⊥平面CDE，由平行线性质得BG⊥平面CDE，由此能证明平面BCE⊥平面CDE．
（3）由已知条件利用等积法能求出三棱锥A-BCF的体积．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：取CE的中点G，连结FG、BG．  …（1分）
∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF=

1

2

DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．   …（2分）
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB． …（3分）
∴四边形GFAB为平行四边形，
则AF∥BG．…（4分）
∵AF不包含于平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE． …（5分）
（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．…（6分）
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF． …（7分）
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．…（8分）
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE． …（10分）
（3）解：∵AB⊥平面ACD，∴AB是三棱锥B-ACF的高．…（11分）
∵△ACD为等边三角形，且AD=DE=2AB=2，∴AB=1．…（12分）
∴VA-BCF=VACF=

1

3

×S△ACF×AB …（13分）
=

1

3

×

1

2

×S△ACD×AB
=

1

3

×

1

2

×

3

4

×22×1
=

3

6

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．