Question

已知等差数列{a_n}的前n项的和记为S_n．如果a₄=-12，a₈=-4．
（1）求S_n的最小值及其相应的n的值；
（2）判断{3an}是何种数列，并给出证明．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）可设等差数列{a_n}的公差为d，由a₄=-12，a₈=-4，可解得其首项与公差，从而可求得数列{a_n}的通项公式，数列{a_n}的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数，即可求得答案．
（2）利用等比数列的定义进行判断．

解答： 解：（1）设公差为d，由题意可得

a1+3d=-12 a2+7d=-4

，
解得a₁=-18，d=2，
故可得a_n=a₁+（n-1）d=2n-20，
令a_n=2n-20≥0，解得n≥10，
故数列{a_n}的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数，
故当n=9或n=10时，S_n取得最小值，
故S₉=S₁₀=10a₁+

10×9

2

d=-90；
（2）b_n=3 an=3^2n-20，
∴

bn+1

bn

=

32n-18

32n-20

=9，
∴{3an}是等比数列．

点评：本题考查等比数列的定义，考查等差数列的通项公式，及求和公式，利用等差数列的通项公式分析S_n的最值是解决问题的捷径，属基础题．