Question

公比为正的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a₁+a₂=a₃，S₃+2=a₄．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）令b_n=log₂a_n，数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n，求使得T_n＞

2012

2013

成立的最小正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等比数列的通项公式和前n项和公式能求出首项和公比，由此能求出an=2•2n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=log22n=n，从而

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出T_n=

n

n+1

，由此能求出满足T_n＞

2012

2013

成立的最小正整数n的值．

解答： 解：（1）公比为正的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，
且2a₁+a₂=a₃，S₃+2=a₄，
∴q²-q-2=0，又q＞0，
∴q=2，又S₃+2=a₄，
∴

a1(1-23)

1-2

+2=a1•23，
∴a₁=2，
∴an=2•2n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
又T_n＞

2012

2013

，∴n＞2012，
∴满足T_n＞

2012

2013

成立的最小正整数n的值为2013．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的最小正整数n的值的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．