Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n+2 an，求数列{b_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列性质，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=2n+22n=2n+4n，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₁=2和a₂，a₃，a₄+1成等比数列，
得（2+2d）²=（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，…（2分）
当d=-1时，a₃=0，与a₂，a₃，a₄+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，…（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n，
即数列{a_n}的通项公式a_n=2n．…（6分）
（2）∵bn=2n+22n=2n+4n…（8分）
∴Sn=(2+4)+(4+42)+…+(2n+4n)
=（2+4+…+2n）+（4+4²+…+4ⁿ）
=

n(2+2n)

2

+

4(1-4n)

1-4

=n2+n+

4

3

(4n-1)．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．