Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-2a_n=0（n∈N^*）；各项均为正数的数列{b_n}中，2S_n=b_n²+b_n（n∈N^*），其中S_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求b₁，b₂
（2）求a_n和b_n
（3）设c_n=

an(n=1，3，5，…) bn(n=2，4，6，…)

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推思想能求出b₁，b₂．
（2）由a_n+1-2a_n=0得数列{a_n}是首项为1公比2的等比数列．由此求出a_n=2^n-1；由2S_n=bn2+bn，推导出数列{b_n}是首项为1公差1的等差数列．由此求了b_n=n．
（3）cn=

2n-1，n为奇数 n，n为偶数

，由此利用分类讨论思想能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，2S₁=2b₁=b12+b1，解得b₁=1，
当n=2时，2S2=b22+b2，即2（1+b₂）=b22+b2，解得b₂=2．…（2分）
（2）∵a_n+1-2a_n=0，∴a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是首项为1公比2的等比数列．
∴a_n=2^n-1．…（4分）
又2S_n=bn2+bn，∴2Sn-1=bn-12+bn-1，
∴2bn=2Sn-2Sn-1=bn2+bn-bn-12-bn-1，
即bn+bn-1=bn2-bn-12，…（6分）
∵b_n＞0，∴b_n-b_n-1=1，
∴数列{b_n}是首项为1公差1的等差数列．…（7分）
∴b_n=n．…（8分）
（3）cn=

2n-1，n为奇数 n，n为偶数

，…（9分）
∴当n=2k，k∈N^*时，
T_n=T_2k=（1+4+4²+…+4^k-1）+（2+4+6+…+2k）
=

4k-1

3

+k(k+1)
=

2n-1

2

+

n2+2n

4

，…（11分）
当n=2k-1（k∈N^*）时，
T_n=T_2k-1=（1+4+4²+…+4^k-1）+（2+4+6+…+2（k-1））
=

4k-1

3

+k(k-1)
=

2n+1-1

3

+

n2-1

4

，…（13分）
T_n=

2n+1-1 3 + n2-1 4 ，n是奇数 2n-1 3 + n2+2n 4 ，n是偶数

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．