Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n+1=0，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+b_n=2，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得a_n=n，2b_n+1-b_n=0，从而得数列{b_n}为等比数列，由此求出bn=

1

2n-1

．
（Ⅱ）由已知得cn=n•

1

2n-1

，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可知数列{a_n}为首项为1，公差为1的等差数列
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n…（2分）
∵S_n+b_n=2，∴S_n+1+b_n+1=2
∴2b_n+1-b_n=0
即

bn+1

bn

=

1

2

…（4分）
∴数列{b_n}为等比数列
又S₁+b₁=2，∴b₁=1…（5分）
∴数列{b_n}的通项公式为bn=

1

2n-1

…（6分）
（Ⅱ）由已知得cn=n•

1

2n-1

，…（7分）
∴Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

…（8分）

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

…（9分）
两式相减得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

…（10分）
=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

…（12分）
∴数列{c_n}的前n项和为：
Tn=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

=4-

n+2

2n-1

…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．