Question

已知向量

m

=（1，sinx），

n

=（2，1），函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值；
（2）若△ABC的内角A、B所对的边分别为a、b且f（A）=

14

5

，f（B）=

31

13

，a+b=77，求a的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，根据x的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的最大值即可；
（2）由f（A）=

14

5

，f（B）=

31

13

，根据（1）确定出的解析式，求出sinA与sinB的值，利用正弦定理得到a与b的方程，与a+b=77联立即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（1，sinx），

n

=（2，1），
∴函数f（x）=

m

•

n

=2+sinx，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴sinx∈[0，1]，即2+sinx∈[2，3]，
则函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为3；
（2）由f（A）=

14

5

，得sinA=

4

5

；由f（B）=

31

13

，得sinB=

5

13

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

a

b

=

sinA

sinB

=

52

25

，即25a=52b，
与a+b=77联立，
解得：a=52，b=25．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及正弦函数的值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．