Question

空间中一点P出发的三条射线PA，PB，PC，两两所成的角为60°，在射线PA，PB，PC上分别取点M，N，Q，使PM=1，PN=2，PQ=3，则三棱锥P-MNQ的外接球表面积是

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,球

分析：以P为坐标原点，PA所在直线为x轴，建立直角坐标系，设球心为O，则OP=OM=ON=OQ，列出等式，求出球的半径的平方，然后根据球的表面积公式解答即可．

解答： 解：以P为坐标原点，PA所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则P（0，0，0），M（1，0，0），N（1，

3

，0）
求得Q（

3

2

，

3

2

，

6

）；
设球心为O，则OP=OM=ON=OQ，
∴x²+y²+z²=（x-1）²+y²+z²=(x-1)2+(y-

3

)2+z2=(x-

3

2

)2+(y-

3

2

)2+(z-

6

)2
解得x=

1

2

，y=

3

2

，z=

6

2

，
∴外接球半径的平方R²=(

1

2

)2+(

3

2

)2+(

6

2

)2=

5

2

∴外接球的表面积S=4π×

5

2

=10π．
故答案为：10π．

点评：本题主要考查了棱锥的外接球的表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，解答此题的关键是求出外接球的半径．