Question

已知（x 

2

3

+3x²）ⁿ的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）由题意可得 4ⁿ-2ⁿ=992，求得n的值，可得展开式中二项式系数最大的项．
（2）利用通项公式求得第r+1项的系数为3^r•

C

r 5

，r=0，1，2，3，4，5，检验可得系数最大的项．

解答： 解：（1）由题意可得 4ⁿ-2ⁿ=992，求得 2ⁿ=32，∴n=5．
故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，
即 T₃=

C

2 5

•9•x⁶=90x⁶，或 T₄=

C

3 5

•27•x

22

3

=270x

22

3

．
（2）由于（x 

2

3

+3x²）⁵的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 5

•3^r•x

10+4r

3

，
故第r+1项的系数为3^r•

C

r 5

，r=0，1，2，3，4，5，
故当r=4时，该项的系数最大，即第5项的系数最大，该项为 T₅=

C

4 5

•81•x

26

3

=405x

26

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．