Question

如图所示，在所有棱长都相等的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D点为棱AB的中点．
（1）求证：AC₁∥面CDB₁；
（2）若三棱柱的棱长为2a，求异面直线AC₁与DB₁所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BC₁，B₁C交于点E，则点E是B₁C的中点，连结DE，由三角形中位线定理得AC₁∥DE，由此证明AC₁∥面CDB₁．
（2）由AC₁∥DE，得∠EDB₁是异面直线AC₁与DB₁所成的角，由此能求出异面直线AC₁与DB₁所成的角的余弦值．

解答： （本小题15分）
（1）证明：连结BC₁，B₁C交于点E，
则点E是B₁C的中点，连结DE，因为D点为AB的中点，
所以DE是△ABC₁的中位线，所以AC₁∥DE，
因为DE?面CDB₁，AC₁?面CDB₁，
所以AC₁∥面CDB₁．
（2）解：因为AC₁∥DE，
所以∠EDB₁是异面直线AC₁与DB₁所成的角，
因为棱长为2a，所以DE=EB1=

2

a，DB1=

5

a，
取DB₁的中点F，连接EF，则EF⊥DB₁，且DE=

5

2

，
所以cos∠EDB1=

DF

DE

=

10

4

．
即异面直线AC₁与DB₁所成的角的余弦值为

10

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．