Question

（Ⅰ）若点P（x，y）在曲线|x|+|y|=1上（xy≠0），求证：

x2

|y|

+

y2

|x|

≥1．
（Ⅱ）已知CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交CD于点D，点E，F分别在弦AB与弦AC上，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆，证明：△ABC是直角三角形．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由已知条件得

x2

|y|

+

y2

|x|

=（

x2

|y|

+

y2

|x|

）（|x|+|y|），由此利用均值不等式能证明

x2

|y|

+

y2

|x|

≥1．
（Ⅱ）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明△ABC是直角三角形．

解答： （Ⅰ）证明：∵点P（x，y）在曲线|x|+|y|=1上（xy≠0），
|x|＞0，|y|＞0，
∴

x2

|y|

+

y2

|x|

=（

x2

|y|

+

y2

|x|

）（|x|+|y|）
=

x3

|y|

+y2+x2+

y3

|x|

≥x²+y²+2

x3 |y| • y3 |x|

=x²+y²+2|x||y|
=（|x|+|y|）²
=1．
∴

x2

|y|

+

y2

|x|

≥1．
（Ⅱ）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，
∵BC•AE=DC•AF，∴

BC

FA

=

DC

EA

．
∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．
∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．
∴∠CBA=90°，∴△ABC是直角三角形．

点评：本题考查不等式的证明，考查直角三角形的证明，解题时要认真审题，注意均值不等式和圆的性质的灵活运用．