Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=a₄+4，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

Sn

}的前n项和公式．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式和等比数列的性质求出首项和公差，由此能求出a_n=2n．
（Ⅱ）由a_n=2n知Sn=

(2+2n)×n

2

=n(n+1)．

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

Sn

}的前n项和公式．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d≠0．
因为S₃=a₄+4，
所以3a1+

3×2×d

2

=a1+3d+4．①
因为a₁，a₂，a₄成等比数列，
所以a1(a1+3d)=(a1+d)2．②…（5分）
由①，②可得：a₁=2，d=2．…（6分）
所以a_n=2n．…（7分）
（Ⅱ）由a_n=2n可知：Sn=

(2+2n)×n

2

=n(n+1)．…（9分）
所以

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．…（11分）
所以

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn-1

+

1

Sn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
所以数列{

1

Sn

}的前n项和为

n

n+1

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．