Question

已知数列{a_n}满足：a₁=10，a₂=5，a_n-a_n+2=2（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前2n项和为S_2n，当S_2n取最大值时，求n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得数列{a_n}的奇数项、偶数项均是以-2为公差的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n），利用分组求和法能求出当n=4时，S_2n取最大值．

解答： 解：（1）∵a₁=10，a₂=5，a_n-a_n+2=2（n∈N^*），
∴数列{a_n}的奇数项、偶数项均是以-2为公差的等差数列，
当n为奇数时，an=a1+(

n+1

2

-1)×(-2)=11-n，
当n为偶数时，an=a2+(

n

2

-1)×(-2)=7-n，
∴an=

11-n，n为奇数 7-n，n为偶数

．
（2）S_2n=a₁+a₂+…+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=na₁+

n(n-1)

2

×(-2)+na2 +

n(n-1)

2

×(-2)
=-2n²+17n，
结合二次函数的性质知，当n=4时，S_2n取最大值．

点评：本题考查等差数列的通项公式及前n项和的基础知识，考查数列的分组求和的方法，是中档题．