Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=

2

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AC=2，AB=BC=1，E为AD中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成的二面角．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出PE⊥AD，由此能证明PE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连结BE，由已知条件得四边形EBCD是平行四边形，从而得到∠PBE是异面直线PB与CD所成的角，由此能求出异面直线PB与CD所成的角的余弦值．
（Ⅲ）以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EP为z轴，建立空直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成的二面角．

解答： （Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD，E为AD中点，
∴PE⊥AD
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：连结BE，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有ED∥BC且ED=BC，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴EB∥DC
由（Ⅰ）知PE⊥EB，∠PBE为锐角，
∴∠PBE是异面直线PB与CD所成的角
∵AC=2，AB=BC=1，
在Rt△AEB中，AB=1，AE=1，∴EB=

2

，
在Rt△PEA中，AP=

2

，AE=1，∴EP=1，
在Rt△PBE中，PB=

EP2+EB2

=

3

，
cos∠PBE=

EB

PB

=

2

3

=

6

3

，
∴异面直线PB与CD所成的角的余弦值为

6

3

．
（Ⅲ）解：以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EP为z轴，
建立空直角坐标系，
A（0，-1，0），B（1，-1，0），P（0，0，1），
C（1，0，0），D（0，1，0），

PA

=(0，1，1)，

PB

=(-1，1，1)，

PC

=(-1，0，1)，

PD

=(0，-1，1)，
设平面PAB的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PA =y+z=0 n • PB =-x+y+z=0

，
取y=1，得

n

=(0，1，-1)，
设平面PCD的法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • PC =-a+c=0 m • PD =-b+c=0

，
取a=1，得

m

=(1，1，1)，
∵

n

•

m

=0，
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角为90°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．