Question

在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，如图E、F分别为棱AB与BC的中点，EF∩BD=H；
（Ⅰ）求二面角B′-EF-B的正切值；
（Ⅱ）试在棱B′B上找一点M，使D′M⊥面EFB′，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）连结B′D′，AC，B′H，由已知条件推导出EF⊥平面BB′D′D，从布推导出∠B′HB为二面角B′-EF-B的平面角，由此能求出二面角B′-EF-B的正切值的大小．
（II）在棱B′B上取中点M，连结D′M，则D′M⊥面EFB′．连结CM，由线面垂直得D′M⊥EF．由三垂线定理得B′F⊥D′M，由此能证明D′M⊥面EFB′．

解答： 解：（I）连结B′D′，AC，B′H，
∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
又∵E，E分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，
又∵棱B′B⊥底面ABCD，EF?底面ABCD，
∴EF⊥B′B，而B′B∩BD=B，∴EF⊥平面BB′D′D，
又∵B′H?面BB′D′D，BN?面BB′D′D，
∴EF⊥B′H，EF⊥BH，
∴∠B′HB为二面角B′-EF-B的平面角，
在RT△B′BH中，B′B=a，BH=

2

4

a，
∴tan∠B′HB=

B′B

BH

=2

2

，
∴二面角B′-EF-B的正切值的大小为2

2

．
（II）在棱B′B上取中点M，连结D′M，则D′M⊥面EFB′．
证明如下：
连结CM，∵EF⊥面BB′D′D，D′M?面BB′D′D，
∴D′M⊥EF．
又∵D′C′⊥面B′BCC′，∴C′M为D′M在面B′BCC′内的射影．
在正方形B′BCC′中，M，F分别为B′，B和BC的中点，
∴B′F⊥C′M，于是由三垂线定理得B′F⊥D′M，
而B′F?面EFB′，EF?面EFB′，∴EF∩B′F=F，
∴D′M⊥面EFB′．

点评：本题考查二面角的正切值的求法，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．