Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{

an

n

}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{S_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（Ⅲ）试比较T_n与nS_n的大小．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a₁=

1

2

，a_n=S_n-S_n-1=（

2

n-1

+1）a_n-1-（

2

n

+1）a_n，由此能证明数列{

an

n

}是首项及公比均为

1

2

的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

n

=(

1

2

)n，从而 Sn=2-

n+2

2n

，由此利用分组求和法和错位相减法能求出数列{S_n}的前n项和．
（III）由Sn=2-

n+2

2n

，得Sn+1-Sn=

n+2

2n

-

n+3

2n+1

=

n+1

2n+1

＞0，由此能比较T_n与nS_n的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n∈N^*），
∴由a₁=S₁=2-3a₁，解得a₁=

1

2

，…（1分）
由S_n=2-（

2

n

+1）a_n，得S_n-1=2-（

2

n-1

+1）a_n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（

2

n-1

+1）a_n-1-（

2

n

+1）a_n，…（3分）
整理得

an

n

=

1

2

×

an-1

n-1

（n≥2），
∴数列{

an

n

}是首项及公比均为

1

2

的等比数列．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

an

n

=(

1

2

)n，
即an=

n

2n

代入已知得 Sn=2-

n+2

2n

…（6分）
令数列{

n+2

2n

}的前n项和为A_n，则 An=

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+2

2n

，
由错位相减法得An=4-

n+4

2n

，…（9分）
∴数列{S_n}的前n项和Tn=2n-(4-

n+4

2n

)=2n+

n+4

2n

-4．…（10分）
（III）解：由 Sn=2-

n+2

2n

，
得Sn+1-Sn=

n+2

2n

-

n+3

2n+1

=

n+1

2n+1

＞0，
∴数列{S_n}为递增数列，…（12分）
∴当n=1时，T₁=S₁．…（13分）
当n≥2时，T_n=S₁+S₂+…+S_n＜S_n+S_n+…+S_n=nS_n．…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．