Question

如图所示的几何体中，PB⊥平面ABC，PQ∥AB，PQ=PB=1，AB=BC=

1

2

，∠ABC=90°，M∈PB，N∈PC．
（1）求QC与平面ABC所成角的正弦值．
（2）若QC⊥平面AMN，求线段MN的长度．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以B为原点，分别以BA，BC，BP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出QC与平面ABC所成角θ的正弦值．
（2）设M（0，0，t），利用向量法能求出线段MN的长度．

解答： 解：（1）以B为原点，分别以BA，BC，BP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（

1

2

，0，0），B（0，0，0），
C（0，

1

2

，0），P（0，0，1），
Q（1，0，1）．
由题设知

BP

为平面ABC的一个法向量，
又

CQ

=（1，-

1

2

，1），

BP

=（0，0，1），
∴QC与平面ABC所成角θ的正弦值：
sinθ=|cos＜

CQ

，

BP

＞|=

1

2+ 1 4

=

2

3

．
（2）∵M在直线PB上，∴设M（0，0，t），
则

AM

=（-

1

2

，0，t）．
∵

CQ

•

AM

=-

1

2

+t=0，∴t=

1

2

，
即M（0，0，

1

2

），设

PN

=λ

PC

，N（x，y，z）．
∵

PN

=（x，y，z-1），

PC

=（0，

1

2

，-1），
∴x=0，y=

1

2

λ，z-1=-λ，∴N（0，

1

2

λ，1-λ），

AN

=（-

1

2

，

1

2

λ，1-λ）．
由

CQ

•

AN

=-

1

2

-

1

4

λ+1-λ=

1

2

-

5

4

λ=0，
得λ=

2

5

，故N(0，

1

5

，

3

5

)．
∴MN=

(0-0)2+( 1 5 -0)2+( 3 5 - 1 2 )2

=

5

10

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．