Question

正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（

an+1

2

）²．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列并求其通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

1

anan+1

，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：

1

3

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，又数列{a_n}为正项数列，推导出{a_n}是首项为1公差为2的等差数列，由此求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）由c_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由裂项求和法求出T_n=

n

2n+1

．由此能证明

1

3

≤Tn＜

1

2

．

解答： （Ⅰ）证明：由Sn=(

an+1

2

)2，得a1=S1=(

a1+1

2

)2，解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2，
整理，得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，
又数列{a_n}为正项数列，
∴a_n-a_n-1=2，n≥2．
∴{a_n}是首项为1公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）c_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
∵n∈N^*，∴T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，
T_n-T_n-1=

n

2n+1

-

n-1

2n-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

＞0，
∴数列{T_n}是一个递增数列，∴Tn≥T1=

1

3

．
综上所述：

1

3

≤Tn＜

1

2

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．