Question

设函数f（x）=1-x²，x∈[-

2

，1]．
（1）求f（x）的值域；
（2）求集合M={k|使方程f（x）=k（x+2）有两个不等实根}．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用二次函数在x∈[-

2

，1]的性质即可求得答案．
（2）由题意得x²+kx+2k-1=0在x∈[-

2

，1]有两个不等实根，根据根的存在条件，列出不等式组，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=1-x²=-x²+1，
∴其对称轴x=0穿过闭区间[-

2

，1]．
∴函数在x∈[-

2

，1]时，f（x）_max=f（0）=1，
又f（x）在[-

2

，0]上递增，在[0，1]递减，
f（-

2

）=-1，f（1）=0，f（-

2

）＜f（1），
∴函数在x∈[-

2

，1]时，f（x）_min=-1，
∴该函数的值域为[-1，1]．
（2）∵f（x）=k（x+2）有两个不等实根，
∴1-x²=k（x+2）有两个不等实根，
即x²+kx+2k-1=0在x∈[-

2

，1]有两个不等实根．
∴

- 2 ＜- k 2 ＜1 k2-4(2k-1)＞0 f(- 2 )≥0 f(1)≥0

解得，0≤k≤4-2

2

，
故集合M=[0，4-2

2

）

点评：本题考查二次函数的性质，以及根的存在条件，考查分析解决问题的能力，属于中档题．