Question

规定函数y=f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f（x）的“中心距离”，给出以下四个命题：以下命题是真命题的是

 

（写出所有其命题的序号）
①函数y=

1

x

的“中心距离”大于1；
②函数y=

5-4x-x2

的“中心距离”大于1；
③若函数y=f（x）（x∈R）与y=g（x）（x∈R）的“中心距离相等”，则函数L（x）=f（x）-g（x）至少有一个零点；
④f（x）是其定义域上的奇函数，是它的“中心距离”为0的充分不必要条件．

Answer 1

分析：在函数y=

1

x

的图象上任取一点P（b，

1

b

），利用两点间距离公式和均值定理能判断出①正确，再分别举出反例判断出②，③，④均不正确．

解答：解：①在函数y=

1

x

的图象上任取一点P（a，b），则a=

1

b

，
∴点P（a，b）到原点距离d=

a2+b2

=

1 b2 +b2

≥

2

＞1，
∴函数y=

1

x

的“中心距离”大于1，故①正确；
②∵函数y=

5-4x-x2

上的点（1，0）到原点距离d₁=1，
∴函数y=

5-4x-x2

的“中心距离”大于1不正确，故②错误；
③∵函数y=f（x）=1与y=g（x）=-1的“中心距离相等”，
L（x）=f（x）-g（x）=2没有零点，
∴函数L（x）=f（x）-g（x）至少有一个零点不正确，故③错误；
④由①知奇函数y=

1

x

的“中心距离”是

2

，故④错误．
故答案为：①．

点评：本题考查真假命题的判断，当判断一个命题为真命题时要给出具体的判断过程，当判断一个命题为假命题时只需举出一个反例即可．