Question

对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h(x)=

f(x)•g(x)  当x∈Df且x∈Dg f(x)          当x∈Df且x∉Dg g(x)          当x∉Df且x∈Dg

．
（1）若函数f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于函数f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，对x进行分类讨论：当x≠0时，h（x）=f（x）g（x）；当x=0时，h（x）=x²+4．从而得出h（x）的解析式；
（2）对于x的取值进行分类：若x＞0；若x＜0；分别求得它们的最值，最后综合即得函数h（x）的值域．

解答：解：（1）由于函数f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，根据题意得：
当x≠0时，h（x）=f（x）g（x）=

x 2+4

x

；
当x=0时，h（x）=x²+4．
h（x）=

x 2+4 x ，x≠0 x 2+4，x=0

…（5分）
（2）当x≠0时，h(x)=x+

4

x

若x＞0⇒h（x）≥4其中等号当x=2时成立，…（8分）
若x＜0⇒h（x）≤-4其中等号当x=-2时成立，…（10分）
∴函数h（x）的值域为（-∞，-4]∪[4，+∞）…（12分）

点评：本小题主要考查函数的值域、函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．