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对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数h(x)=
f(x)•g(x)    当x∈Df且x∈Dg
1      当x∈Df且x∉Dg
-1   当x∉Df且x∈Dg

(1)若f(α)=sinα•cosα,g(α)=cscα,写出h(α)的解析式;
(2)写出问题(1)中h(α)的取值范围;
(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
分析:(1)根据题中的新定义列出h(α)的解析式即可;
(2)根据余弦函数的值域,以及h(α)的解析式,求出h(α)的范围即可;
(3)令f(x)=sin2x+cos2x,α=
π
4
,可使h(x)=cos4x,理由为:根据若g(x)=f(x+α),利用诱导公式化简求出cos2x-sin2x的值,再根据h(x)=f(x)f(x+α),利用平方差公式及二倍角的余弦函数公式即可得到结果.
解答:解:(1)根据题意得:h(α)=
cosα   (α≠kπ,k∈Z)
1  (α=kπ,k∈Z)

(2)h(α)的取值范围是(-1,1];
(3)令f(x)=sin2x+cos2x,α=
π
4

g(x)=f(x+α)=sin2(x+
π
4
)+cos2(x+
π
4
)=cos2x-sin2x,
则h(x)=f(x)f(x+α)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x.
点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及函数解析式的求解及常用方法,熟练掌握公式是解本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),规定:函数h(x)=
f(x)•g(x)  当x∈Df且x∈Dg
f(x)          当x∈Df且x∉Dg
g(x)          当x∉Df且x∈Dg

(1)若函数f(x)=
1
x
,g(x)=x2+4,写出函数h(x)的解析式;
(2)求问题(1)中函数h(x)的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),规定:函数h(x)=
f(x)•g(x)  (当x∈Df且x∈Dg)
f(x)  (当x∈Df且x∉Dg)
g(x)  (当x∉Df且x∈Dg)

(Ⅰ)若函数f(x)=
1
x-1
,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;
(Ⅱ)求问题(1)中函数h(x)的值域;
(Ⅲ)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),规定:函数h(x)=

   

    若函数f(x)=-2x+3,x≥1;g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对定义域分别是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x).规定:

函数h(x)=

(1)若函数f(x)=,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;

(2)求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+a),其中a是常数,且a∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个a的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

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