Question

（2012年高考（上海理））对于数集,其中,,定义向量集

. 若对于任意,存在,使得,则称X

具有性质P. 例如具有性质P.

(1)若x>2,且,求x的值;

(2)若X具有性质P,求证:1?X,且当xn>1时,x1=1;

(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.

Answer 1

 (1)选取,Y中与垂直的元素必有形式  

所以x=2b,从而x=4  

(2)证明:取.设满足.

由得,所以、异号.

因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,

故1ÎX  

假设,其中,则.

选取,并设满足,即,

则、异号,从而、之中恰有一个为-1.

若=-1,则,矛盾;

若=-1,则,矛盾.

所以x1=1  

(3)【解法一】猜测,i=1, 2, , n  

记,k=2, 3, , n.

先证明:若具有性质P,则也具有性质P.

任取,、Î.当、中出现-1时,显然有满足;

当且时,、≥1.

因为具有性质P,所以有,、Î,使得,

从而和中有一个是-1,不妨设=-1.

假设Î且Ï,则.由,得,与

Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P  

现用数学归纳法证明:,i=1, 2, , n.

当n=2时,结论显然成立;

假设n=k时,有性质P,则,i=1, 2, , k;

当n=k+1时,若有性质P,则

也有性质P,所以.

取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.

若,则,所以,这不可能;

所以,,又,所以.

综上所述,,i=1, 2, , n  

【解法二】设,,则等价于.

记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于

原点对称  

注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,

所以也只有n-1个数.

由于,已有n-1个数,对以下三角数阵

 

 

 

注意到,所以,从而数列的通项公式为

,k=1, 2, , n