Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2

2

，PA=2，
求：（Ⅰ）三角形PCD的面积；
    （II）三棱锥P-ABE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只要证明CD⊥平面PAD即可．
（Ⅱ）取PB的中点，得EH为△PBC的中位线，可得EH与BC的关系，而可证明BC⊥平面PAB，因此EH为平面PAB上的高，进而可计算出体积．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
由矩形ABCD可得CD⊥AD，
又∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
∴△PCD是一个直角三角形，PD=

22+(2 2 )2

=2

3

．
∴S_△PCD=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
（ II）如图，设PB的中点为H，又E为PC的中点，由三角形的中位线定理，得EH∥BC，EH=

1

2

BC=

2

．
由PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC．
由矩形ABCD得BC⊥AB．
又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
所以HE为三棱锥P-ABE的高，因此可得V_P-ABE=V_E-PAB=

1

3

×

1

2

×2×2×

2

=

2 2

3

．

点评：本题考查面积与体积的计算，理解线面垂直的判定与性质是解决问题的关键．同时注意三角形的中位线定理的应用．