Question

过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l₁、l₂,若l₁交x轴于A点，l₂交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.

Answer 1

解法一：设点M的坐标为（x,y）,

    ∵M为线段AB的中点，

    ∴A的坐标为（2x,0），B的坐标为（0,2y）.

    ∵l₁⊥l₂,且l₁、l₂过点P（2，4），

    PA⊥PB,k_PA·k_PB=-1.

    而k_PA=,k_PB=(x≠1),

    ∴·=-1(x≠1).

    整理，得x+2y-5=0(x≠1).

    ∵当x=1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4),

    ∴线段AB的中点坐标是（1，2），它满足方程x+2y-5=0.

    综上所述，点M的轨迹方程是x+2y-5=0.

解法二：设M的坐标为(x,y)，则A、B两点的坐标分别是（2x,0）、(0,2y),连结PM，∵l₁⊥l₂,

    ∴2｜PM｜=｜AB｜.

    而｜PM｜=,

    ｜AB｜=,

    ∴2=.化简，得x+2y-5=0,为所求轨迹方程.

解法三：设M的坐标为（x,y），由l₁⊥l₂，BO⊥OA知O、A、P、B四点共圆，

    ∴｜MO｜=｜MP｜，即点M是线段OP的垂直平分线上的点.

    ∵k_OP==2,线段OP的中点为(1,2),

    ∴y-2=-(x-1),即x+2y-5=0为所求.