Question

16．若函数f（x）=kx³+3（k-1）x²+1（k≠0）在区间（0，1）上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）

• A． k≥1或k≤-$\frac{1}{3}$
• B． k≤-$\frac{1}{3}$
• C． k≥$\frac{1}{3}$
• D． k≥1

Answer 1

分析 求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系转化为f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，然后利用参数分离法进行求解．

解答 解：若f（x）=kx³+3（k-1）x²+1（k≠0）在区间（0，1）上单调递增，
则f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，
即f′（x）=3kx²+6（k-1）x≥0在区间（0，1）上恒成立，
即kx+2（k-1）≥0在区间（0，1）上恒成立，
即k（x+2）≥2在区间（0，1）上恒成立，
即k≥$\frac{2}{x+2}$在区间（0，1）上恒成立，
设g（x）=$\frac{2}{x+2}$，则g（x）在区间（0，1）上为减函数，
则g（1）＜g（x）＜g（0），
即$\frac{2}{3}$＜g（x）＜1，
则k≥1，
故选：D．

点评 本题主要考查函数单调性和导数的关系的应用，利用导数法结合参数分离法求出函数的取值范围是解决本题的关键．