Question

7．已知在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=2，且2a₁，a₃，3a₂成等差数列．
（Ⅰ）求等比数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•（$\frac{2}{n+1}-λ$），n=1，2，3，…，且数列{c_n}为单调递减数列，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q=2，进而得到所求通项；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式a_n代入c_n=2ⁿ•（$\frac{2}{n+1}$-λ），由c_n+1-c_n分离λ后，求出$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$的最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），
由2a₁，a₃，3a₂成等差数列，可得
2a₃=2a₁+3a₂，
即为2a₁q²=2a₁+3a₁q，可得2q²-3q-2=0，
解得q=2（-$\frac{1}{2}$舍去），
则a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）c_n=a_n•（$\frac{2}{n+1}-λ$）=2ⁿ•（$\frac{2}{n+1}-λ$），
由数列{c_n}为单调递减数列，可得
则c_n+1-c_n=2ⁿ⁺¹•（$\frac{2}{n+2}$-λ）-2ⁿ•（$\frac{2}{n+1}-λ$）
=2ⁿ•（$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$-λ）＜0对一切n∈N^*恒成立，
即$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$-λ＜0，即λ＞$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{2n}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{2}{n+\frac{2}{n}+3}$，
当n=1或2时，n+$\frac{2}{n}$取得最小值，且为3，
则$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$的最大值为$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
即有λ＞$\frac{1}{3}$．即λ的取值范围是（$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和，考查了数列的函数特性，训练了分离变量法求参数的取值范围，是中档题．