Question

3．若a＞b＞0，且a+b=6$\sqrt{ab}$，则$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 a＞b＞0，且a+b=6$\sqrt{ab}$，化为$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$=6，令$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$=x＞1，化为x+$\frac{1}{x}$=6，解得x=3+2$\sqrt{2}$．化为$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$=$\frac{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+1}{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}-1}$=$\frac{x+1}{x-1}$，代入即可得出．

解答 解：∵a＞b＞0，且a+b=6$\sqrt{ab}$，
∴$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$=6，
令$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$=x＞1，化为x+$\frac{1}{x}$=6，化为x²-6x+1=0，
∴$x=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}$=3$±2\sqrt{2}$，取x=3+2$\sqrt{2}$．
∴$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$=$\frac{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+1}{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}-1}$=$\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{4+2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$=$\frac{（2+\sqrt{2}）（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了乘法公式的应用、根式的运算性质、“换元法”、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．