Question

已知AC，BD为圆O：x²+y²=4的两条互相垂直的弦，垂足为．则四边形ABCD的面积的取值范围是________．

Answer 1

[4，5]
分析：设圆心到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则 d₁²+d₂² =3，代入面积公式s=AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．通过面积公式化简，利用不等式的基本性质，求出表达式的最小值，得到四边形面积的范围．
解答：如图
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEMF为矩形
已知OA=OC=2 OM=，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，
则d₁²+d₂²=OM²=3．
四边形ABCD的面积为：s=•|AC|（|BM|+|MD|），
从而：
，
（当且仅当d₁² =d₂²时取等号．）
又，==≥4．
四边形ABCD的面积的取值范围是：[4，5]．
故答案为：[4，5]．
点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算．