Question

8．如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面中，DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°．
（1）求直线AC与平面BB₁C₁C所成的角正弦值；
（2）若异面直线BC₁与AC所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求二面角B-A₁C₁-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据直线和平面所成角的定义先作出线面角，根据三角形的边角关系即可求直线AC与平面BB₁C₁C所成的角正弦值；
（2）根据异面直线BC₁与AC所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，先求出直四棱柱高的值，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，根据三角形的边角关系即可求二面角B-A₁C₁-A的正切值．

解答 解：（1）∵DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°．
∴CD=AD=2，BC=AB=2$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{3}$，
即三角形ABC是正三角形，
则AC⊥BD，
取BC的中点P，则AP⊥BC，AP⊥平面BB₁C₁C，
则∠ACB是直线AC与平面BB₁C₁C所成的角，
则∠ACB=60°，
则sin∠ACB=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即直线AC与平面BB₁C₁C所成的角正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵A₁C₁∥AC，
∴直线BC₁与A₁C₁所成的角即是直线BC₁与AC所成的角，
连接A₁B，
设A₁A=m，
则A₁B=$\sqrt{A{B}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{12+{m}^{2}}$，BC₁=$\sqrt{B{C}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{12+{m}^{2}}$，A₁C₁=AC=2$\sqrt{3}$，
则cos∠A₁C₁B=$\frac{{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}+B{{C}_{1}}^{2}-{A}_{1}{B}^{2}}{2{A}_{1}{C}_{1}•B{C}_{1}}$=$\frac{12+{m}^{2}+12-{m}^{2}-12}{2×2\sqrt{3}•\sqrt{{m}^{2}+12}}$=$\frac{12}{4\sqrt{3}\sqrt{{m}^{2}+12}}$，
∵异面直线BC₁与AC所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$\frac{12}{4\sqrt{3}\sqrt{{m}^{2}+12}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即$\sqrt{12+{m}^{2}}$=4，则12+m²=16，
则m²=4，m=2，
取A₁C₁的中点F，连接FO，则FO⊥A₁C₁，
∵A₁B=BC₁=$\sqrt{12+{m}^{2}}$，
∴BF⊥A₁C₁，
即∠BFO是二面角B-A₁C₁-A的平面角，
则tan∠BFO=$\frac{OB}{OF}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查空间角的计算，涉及异面直线所成的角，直线和平面所成的角以及二面角的求解，根据空间角的定义找出对应的角，结合三角形的边角关系进行求解是解决本题的关键．