Question

8．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x．
（1）若曲线y=f（x）-g（x）在x=1与x=$\frac{1}{2}$处的切线相互平行，求a的值即切线斜率；
（2）若函数y=f（x）-g（x）在区间（$\frac{1}{3}$，1）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把f（x），g（x）代入y=f（x）-g（x），求出导函数，再由在x=1与x=$\frac{1}{2}$时的导数值相等求得a的值，并进一步求得切线的斜率；
（2）由题意可得，函数y=f（x）-g（x）在区间（$\frac{1}{3}$，1）上的导函数小于0恒成立，分离参数a，再由导数求得函数h（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$在区间（$\frac{1}{3}$，1）上的范围得答案．

解答 解：（1）由f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x，得y=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x，
∴y′=$\frac{1}{x}-ax-2$，
则y′|_x=1=-a-1，$y′{|}_{x=\frac{1}{2}}=-\frac{a}{2}$，
由题意，$-a-1=-\frac{a}{2}$，解得a=-2．
∴k=1；
（2）函数y=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x在区间（$\frac{1}{3}$，1）上单调递减，
则y′=$\frac{1}{x}-ax-2$在区间（$\frac{1}{3}$，1）上小于0恒成立，
即$\frac{1}{x}-ax-2$＜0，分离参数a，得a＞$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$．
令h（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$，则h′（x）=$\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$，
当x∈（$\frac{1}{3}$，1）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（$\frac{1}{3}$，1）上为减函数，
则h（x）＜h（$\frac{1}{3}$）=3．
∴a≥3．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了分离参数法求字母的取值范围，是中档题．